如何利用根的判别式判断一元二次方程的根是否为纯虚数？

在数学领域，一元二次方程是基础而重要的内容。它广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。而一元二次方程的根，即方程的解，是我们解决问题的关键。在这篇文章中，我们将探讨如何利用根的判别式来判断一元二次方程的根是否为纯虚数。

一、一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的一般形式为：(ax^2 + bx + c = 0)，其中(a)、(b)、(c)是实数，且(a \neq 0)。方程的根可以通过求根公式得到：

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

其中，(\sqrt{b^2 - 4ac})称为判别式，记为(\Delta)。根据判别式的值，我们可以判断方程的根的性质。

二、根的判别式与根的性质

三、如何判断一元二次方程的根是否为纯虚数

当(\Delta < 0)时，方程无实数根，而是两个共轭复数根。若要判断这两个根是否为纯虚数，我们可以进一步分析。

设方程的两个根为(x_1)和(x_2)，则有：

[x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}]
[x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}]

由于(\Delta < 0)，(\sqrt{\Delta})为虚数，记为(i\sqrt{\Delta})。则：

[x_1 = \frac{-b + i\sqrt{\Delta}}{2a}]
[x_2 = \frac{-b - i\sqrt{\Delta}}{2a}]

可以看出，(x_1)和(x_2)均为纯虚数。因此，当(\Delta < 0)时，一元二次方程的根为纯虚数。

四、案例分析

以下是一元二次方程的例子，我们将利用根的判别式来判断其根是否为纯虚数。

例1：(x^2 + 2x + 5 = 0)

首先，我们计算判别式：

[\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16]

由于(\Delta < 0)，方程无实数根。接下来，我们判断根是否为纯虚数：

[x_1 = \frac{-2 + i\sqrt{16}}{2} = -1 + 2i]
[x_2 = \frac{-2 - i\sqrt{16}}{2} = -1 - 2i]

因此，方程(x^2 + 2x + 5 = 0)的根为纯虚数。

通过以上分析，我们可以得出结论：当一元二次方程的判别式小于0时，其根为纯虚数。掌握这一方法，有助于我们更好地解决实际问题。