根的解析式如何求出重根？

在数学领域，求解方程的根是基础而重要的内容。而对于一些特殊方程，比如重根方程，其根的解析式求解具有一定的难度。本文将深入探讨如何求出重根的解析式，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。

一、重根的定义

首先，我们需要明确什么是重根。在一个一元二次方程中，如果方程的两个根相等，那么这两个根就被称为重根。例如，方程 (x^2 - 2x + 1 = 0) 的两个根都是 1，因此 1 是这个方程的重根。

二、重根的解析式求解

要解出重根的解析式，我们需要从一元二次方程的一般形式入手。一元二次方程的一般形式为 (ax^2 + bx + c = 0)，其中 (a)、(b)、(c) 是常数，且 (a \neq 0)。

1. 使用求根公式

一元二次方程的求根公式为：

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

当方程有重根时，判别式 (b^2 - 4ac) 等于 0。因此，我们可以将求根公式中的判别式替换为 0，得到重根的解析式：

[ x = \frac{-b}{2a} ]

2. 使用配方法

除了求根公式，我们还可以使用配方法求解重根。首先，将方程 (ax^2 + bx + c = 0) 转化为完全平方形式：

[ ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c ]

[ = a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2) - a(\frac{b}{2a})^2 + c ]

[ = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c ]

当方程有重根时，判别式 (b^2 - 4ac) 等于 0。因此，我们可以将方程转化为：

[ a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c ]

解得：

[ x = -\frac{b}{2a} ]

三、案例分析

为了更好地理解重根的解析式求解，下面我们通过一个案例进行说明。

案例： 求解方程 (x^2 - 4x + 3 = 0) 的重根。

解答：

[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ]

[ x = \frac{4 \pm 2}{2} ]

[ x_1 = 3, \quad x_2 = 1 ]

由于 (x_1) 和 (x_2) 不相等，因此方程 (x^2 - 4x + 3 = 0) 没有重根。

[ x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1 ]

[ (x - 2)^2 = 1 ]

[ x - 2 = \pm 1 ]

[ x_1 = 3, \quad x_2 = 1 ]

同样，由于 (x_1) 和 (x_2) 不相等，因此方程 (x^2 - 4x + 3 = 0) 没有重根。

通过以上案例，我们可以看到，求重根的解析式需要根据方程的具体形式选择合适的方法。在实际应用中，我们可以根据具体情况灵活运用求根公式和配方法。