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一元二次方程根的判别式在求解方程中的应用案例

在数学领域，一元二次方程是基础且重要的部分。一元二次方程的根的判别式在求解方程中起着至关重要的作用。本文将详细探讨一元二次方程根的判别式在求解方程中的应用案例，以帮助读者更好地理解这一概念。

一元二次方程的一般形式为：(ax^2 + bx + c = 0)，其中(a)、(b)、(c)为实数且(a \neq 0)。方程的根可以通过求解一元二次方程的判别式(Δ = b^2 - 4ac)来确定。

1. 判别式为正（(Δ > 0)）

当判别式(Δ > 0)时，方程有两个不相等的实数根。具体来说，方程的根可以用以下公式表示：

[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a}
]

案例一：

考虑一元二次方程(x^2 - 5x + 6 = 0)。首先，我们计算判别式：

[
Δ = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1
]

由于(Δ > 0)，方程有两个不相等的实数根。根据公式，我们可以求得：

[
x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2
]

因此，方程(x^2 - 5x + 6 = 0)的根为(x_1 = 3)和(x_2 = 2)。

2. 判别式为零（(Δ = 0)）

当判别式(Δ = 0)时，方程有两个相等的实数根。在这种情况下，方程的根可以用以下公式表示：

[
x = \frac{-b}{2a}
]

案例二：

考虑一元二次方程(x^2 - 4x + 4 = 0)。首先，我们计算判别式：

[
Δ = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0
]

由于(Δ = 0)，方程有两个相等的实数根。根据公式，我们可以求得：

[
x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2
]

因此，方程(x^2 - 4x + 4 = 0)的根为(x = 2)。

3. 判别式为负（(Δ < 0)）

当判别式(Δ < 0)时，方程没有实数根。在这种情况下，方程的根是两个复数。具体来说，方程的根可以用以下公式表示：

[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{-Δ}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{-Δ}}{2a}
]

案例三：

考虑一元二次方程(x^2 + 2x + 5 = 0)。首先，我们计算判别式：

[
Δ = (2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16
]

由于(Δ < 0)，方程没有实数根。根据公式，我们可以求得：

[
x_1 = \frac{-2 + \sqrt{-16}}{2 \times 1} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i, \quad x_2 = \frac{-2 - \sqrt{-16}}{2 \times 1} = \frac{-2 - 4i}{2} = -1 - 2i
]

因此，方程(x^2 + 2x + 5 = 0)的根为(x_1 = -1 + 2i)和(x_2 = -1 - 2i)。

总结，一元二次方程根的判别式在求解方程中具有重要作用。通过分析判别式的值，我们可以确定方程的根的性质，从而找到方程的解。在实际应用中，这一概念对于解决各种数学问题具有重要意义。