一元二次方程的根与系数关系在求解问题中的应用案例分享。
在数学学习中，一元二次方程是一个非常重要的部分。一元二次方程的根与系数关系，即韦达定理，是解决一元二次方程问题的重要工具。本文将分享一元二次方程的根与系数关系在求解问题中的应用案例，帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
一、一元二次方程的根与系数关系概述
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。根据韦达定理，一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x₁和x₂满足以下关系：
x₁ + x₂ = -b/a （1）
x₁x₂ = c/a （2）
其中，a、b、c为方程的系数，x₁和x₂为方程的根。
二、一元二次方程的根与系数关系在求解问题中的应用案例
- 求解一元二次方程的根
【案例1】求解方程x² - 5x + 6 = 0的根。
解：根据韦达定理，设方程的两个根为x₁和x₂，则有：
x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5 （根据公式（1））
x₁x₂ = 6/1 = 6 （根据公式（2））
接下来，我们可以通过解方程组来求解x₁和x₂：
（1）x₁ + x₂ = 5
（2）x₁x₂ = 6
我们可以通过观察或试错法找到方程的两个根，也可以通过求根公式求解：
x₁ = (5 + √(5² - 4×1×6)) / 2 = 3
x₂ = (5 - √(5² - 4×1×6)) / 2 = 2
因此，方程x² - 5x + 6 = 0的根为x₁ = 3和x₂ = 2。
- 判断一元二次方程的根的情况
【案例2】判断方程x² - 2x - 3 = 0的根的情况。
解：根据韦达定理，设方程的两个根为x₁和x₂，则有：
x₁ + x₂ = -(-2)/1 = 2 （根据公式（1））
x₁x₂ = -3/1 = -3 （根据公式（2））
由于x₁x₂ = -3 < 0，说明方程的两个根异号。
- 求解一元二次方程的最大值或最小值
【案例3】求解方程x² - 4x + 4 = 0的最大值。
解：首先，我们将方程变形为(x - 2)² = 0，可以看出方程的根为x₁ = x₂ = 2。
根据韦达定理，我们有：
x₁ + x₂ = -(-4)/1 = 4 （根据公式（1））
x₁x₂ = 4/1 = 4 （根据公式（2））
由于方程的根为x₁ = x₂ = 2，我们可以得到方程的最大值为f(x) = (x - 2)² = 0。
- 求解一元二次方程的根与系数关系在实际问题中的应用
【案例4】某工厂生产一批产品，成本为每件100元，售价为每件150元。根据市场调查，当售价下降10%时，销售量增加20%。求该工厂的利润。
解：设原销售量为x，降价后的销售量为1.2x，降价后的售价为150×(1 - 10%) = 135元。
根据利润公式，我们有：
利润 = (售价 - 成本) × 销售量
代入数据，得到：
利润 = (135 - 100) × 1.2x = 36x
由于售价下降10%，我们可以得到以下一元二次方程：
(150 - 135) × x - 100x = 0
化简得：
15x - 100x = 0
-85x = 0
x = 0
显然，x = 0不符合实际情况。因此，我们需要找到一元二次方程的根，即销售量。根据韦达定理，我们有：
x₁ + x₂ = -(-100)/15 = 20/3 （根据公式（1））
x₁x₂ = 0/15 = 0 （根据公式（2））
由于x₁x₂ = 0，说明方程的一个根为0，另一个根为x₂ = 20/3。
因此，该工厂的销售量为20/3件，利润为：
利润 = (135 - 100) × (20/3) = 50 × (20/3) = 333.33元
综上所述，一元二次方程的根与系数关系在求解问题中具有广泛的应用。通过本文的案例分享，相信读者能够更好地理解和应用这一数学知识。
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